Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 3 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 3 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 3 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Espandi $(5 - λ) (5 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$p (λ) = 25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Sottrai $5 λ$ da $- 5 λ$ .

$p (λ) = 25 - 10 λ + λ^{2} - 3 \cdot 3$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$p (λ) = 25 - 10 λ + λ^{2} - 9$

Passaggio 1.5.2.2

Sottrai $9$ da $25$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 16$

Passaggio 1.5.2.3

Riordina $- 10 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 16$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 16 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 1.7.1

Scomponi $λ^{2} - 10 λ + 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.7.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $16$ e la cui somma è $- 10$ .

$- 8, - 2$

Passaggio 1.7.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(λ - 8) (λ - 2) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ - 8 = 0$

$λ - 2 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta $λ - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Imposta $λ - 8$ uguale a $0$ .

$λ - 8 = 0$

Passaggio 1.7.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 8$

Passaggio 1.7.4

Imposta $λ - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $λ - 2$ uguale a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 2$

Passaggio 1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ - 8) (λ - 2) = 0$ vera.

$λ = 8, 2$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] - 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 8$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 5 - 8 & 3 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $8$ da $5$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 3 + 0 & 5 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 3 & 5 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Sottrai $8$ da $5$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 5 - 2 & 3 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $2$ da $5$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 + 0 & 5 - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 5 - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Sottrai $2$ da $5$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$